• Углы. Введение

  • Углы. Часть 2

  • Углы. Часть 3

  • Углы между секущими и параллельными прямыми

  • Углы при параллельных прямых

  • Игра с углами

  • Игра с углами. Часть 2

  • Подобные треугольники

  • Подобные треугольники. Часть 2

  • Площадь и периметр

  • Равновеликие треугольники

  • Круг - радиус, диаметр, длина окружности

  • Площадь круга

  • Теорема Пифагора

  • Теорема Пифагора. Часть 2

  • Треугольники с углами 45-45-90

  • Треугольники с углами 30, 60, 90 градусов. Введение

  • Треугольники с углами 30-60-90. Часть 2

  • Формула Герона

  • Доказательство формулы Герона. Часть 1

  • Доказательство формулы Герона. Часть 2

  • Вписанный угол равен половине центрального угла

  • Площадь вписанного равностороннего треугольника

  • Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность

  • Медианы и центроид в треугольнике 1

  • Медианы и центроид в треугольнике 2

  • Диагонали ромба

  • Площадь ромба

  • Основные термины и обозначения геометрии

  • Прямые отрезки и лучи

  • Окружность и связанные с ней определения

  • Углы. Основы

  • Использование транспортира для измерения углов

  • Измерение углов в градусах

  • Измерение углов

  • Комплементарные и смежные углы

  • Углы при пересечении двух прямых

  • Вертикальные углы равны (доказательство)

Геометрия

Геометрия

Геометрия представляет раздел математики, в котором изучают плоские и пространственные фигуры и структуры.

    История

    Знания, связанные с землемерием и расчетом площадей фигур, легшие в основу геометрии, были еще известны в Древнем Египте. Но родоначальниками науки традиционно считают греков, которые переняли их, систематизировали и создали доказательную базу к ним.

    Известный труд Евклида «Начала», увидевший свет еще в III веке до н. э., почти 2 тысячи лет считался образцом изложения аксиоматического метода. Он вобрал в себя известные на тот момент доказательства всех геометрических положений, основанных на логике и небольшом числе аксиом.

    Геометрия греков (или евклидова, или элементарная) сводилась к изучению простейших плоских геометрических форм: прямых, отрезков, плоскостей, конических сечений, правильных многоугольников и многогранников. Изучались и пространственные образования: шары, цилиндры, призмы, пирамиды и конусы. Изыскания сводились к определению их объемов и площадей.

    В средние века пришло открытие Декартом координатного метода. Это привело к созданию аналитической геометрии, которая задает преобразования и фигуры алгебраическими уравнениями и ее же методами их изучает.

    Дальнейшее развитие науки шло по введению в сферу ее исследований различных видов преобразований геометрических фигур, появлявшихся в связи с развитием математики и физики.

    К 19 веку геометрия, как наука, стала настолько многогранной, что появилась необходимость разделения ее на разделы. Что и было сделано в 1872 году немецким педагогом и математиком Феликсом Клейном.

    Классификация

    Классическая геометрия сегодня включает девять отдельных предметов, каждый из которых является самостоятельной научной дисциплиной.

    Среди них евклидова геометрия, проективная, аффинная, начертательная, многомерная, неевклидовы, топология, аналитическая и дифференциальная. Ряд из них имеют свои подразделы.

    1. Евклидова геометрия (или элементарная) – этот тот раздел, который изучают в школе. В основе ее предположение, что при любом перемещении фигур, их повороте или отражении все углы и отрезки сохраняют свои размеры. В ней различают два самостоятельных раздела: планиметрию, которая изучает плоские фигуры, и стереометрию, изучающую их пространственные виды.
    2. Проективная геометрия рассматривает проективные пространства и плоскости и дополняет евклидову. В основе ее лежит принцип двойственности, выраженный в существовании параллельных линий, и утверждения, что они пересекаются в бесконечности. Благодаря ей строятся различные пространственные виды фигур, стало возможным построение перспектив.
    3. Аффинная геометрия базируется на специальных аффинных преобразованиях. К примеру, исследует преобразования фигур при их движении, которое описывается определенным уравнением. В ней прямые всегда остаются прямыми, а их длины и углы не имеют существенного значения.
    4. Начертательная геометрия содержит в основе метод проекций и является инженерным разделом науки. Для исследования трехмерных объектов в ней используется плоскостное их отображение.
    5. Многомерная геометрия – один из самых сложных разделов науки. В ней рассматривается поведение и отображение геометрических фигур в размерностях более 3-х. Находится в стадии становления и четкой концепции на сегодня не имеет. Многомерность исследуется многими учеными. Частные решения позволяют добиваться практических результатов. К примеру, решение задачи об упаковке в n-мерном пространстве шаров, позволило разработать новые принципы для радио-кодирующих устройств.
    6. Неевклидовых геометрий две: сферическая и геометрия Лобачевского. Сферическая, в отличие от евклидовой изучает геометрические фигуры, размещенные на поверхности сферы. Потребность в ней возникла в древности, в связи с развитием астрономии и географии. Геометрия Лобачевского базируется на тех же постулатах, что и евклидова. Но рассматривает геометрические фигуры на криволинейных поверхностях. Ее широко используют в математике и физике. Этот раздел, в свое время, стал новой эпохой в развитии и становлении  не только геометрии, но и науки вообще.
    7. Топология, в отличие от других разделов, совершенно не рассматривает метрические свойства геометрических фигур. В поле ее зрения только их непрерывные преобразования, происходящие при постоянных деформациях.
    8. Аналитическая геометрия в своей основе использует координатный метод. Все геометрические фигуры и поверхности задаются уравнениями в плоских координатах (декартовых). Их свойства исследуют методами математического анализа и алгебры.
    9. В дифференциальной геометрии объекты задаются дифференциальными функциями, а исследование их ведут с помощью дифференциальных уравнений. Частным случаем ее являются Риманова геометрия и геометрия преобразований. В римановой изучают римановы преобразования, представляющие собой гладкие многообразия, обладающие дополнительной структурой. В геометрии многообразий топологическое пространство представляют и исследуют как плоское. Примером такой трансформации может служить плоская карты Земли.

    Советуем: http://www.13min.ru/nauka/universalnyj-metod-postroeniya-chercheniya-tryoxmernyx-proekcij-giperkubov-lyubyx-izmerenij-v-lyubyx-proekciyax-i-rakursax/