Алгебра. Графики линейных уравнений и неравенств

Алгебра. Графики линейных уравнений и неравенств

Необходимость решать линейные уравнения и строить их графики еще в древности была вызвана человеческой потребностью решать различные задачи, связанные с нахождением площади земельных участков, а также с постепенным развитием астрономии и конечно самой математики.

Математика: Алгебра 04. Графики линейных уравнений и неравенств

Линейные уравнения

Уравнения возникли в связи с потребностью решения разнообразных задач, в которых это было не обходимо. Обычно в этих задачах необходимо найти одну неизвестную, зная результаты некоторых действий, которые произведены над искомыми величинами. Эти задачи сводятся к нахождению искомых величин с помощью алгебраических действий с данными величинами.

Некоторые алгебраические методы и приемы решения линейных уравнений, в том числе геометрический с помощью построения графиков были известны еще 3000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Линейные неравенства

Неравенства в первой степени, или же, как их называют, линейные неравенства, – это вида ax+by+c≥0.

Эти неравенства также были описаны порядка 3000 лет назад. Они были известны как в древнем Египте, Вавилоне так и в других древних цивилизациях. Причиной появление данного понятия в простейшей алгебре также послужили вопросы и задачи раздела земли, освоения азов астрономии и других различных задач.

Родоначальниками уравнений и неравенств можно назвать множество людей, например Диофанта не показывал систематической алгебры, однако в ней содержался систематизированный ряд задач, которые сопровождались объяснениями и построениями различных графиков. Также уравнения и неравенства встречаются в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», который был составлен в 499 г. индийским астрономом Ариабхаттой.

В Древней Индии были очень популярны публичные соревнования по решению трудных задач алгебры, которые сейчас нам кажутся элементарными.

Алгоритмы построения графиков линейных неравенств и графиков линейных уравнений абсолютно идентичны. Стоит отметить что как в неравенствах так и уравнениях мы имеем линейную зависимость одной переменной от другой, т.е У есть функция от Х, у=ах+b.

Графики строятся табличным способом. Составляем таблицу в которой берем произвольно два значения Х, подставляя их в уравнения высчитываем соответствующие значении функции У.

ХХ1Х2
УУ1Н2

После чего начинается построение:

  • Для начала строится обыкновенная декартовая система координат с осями Х и У.
  • В этой системе откладываем обе точки с координатами M1(Х1;У1), М2(Х2;У2).
  • Соединяем полученные отрезки прямой линией.

Эта линия и является графиком линейного уравнения.

Если же взять неравенства то построение происходит аналогично, решением будет являться одна из полуплоскостей. Какая именно полуплоскость определяется исходя из самого неравенства и знака стоящего в нем. Если взять произвольную точку из любой из плоскостей и подставить неравенство, то возможны два варианта:

  1. Неравенство обращается в верное равенство что означает, что эта полуплоскость является решением;
  2. Неравенство обращается в неверное равенство, что означает что решением является вторая полуплоскость.