• Основы тригонометрии

  • Основы тригонометрии. Часть 2

  • Градусы и радианы

  • Применение тригонометрических функций

  • Применение тригонометрических функций. Часть 2

  • Определение тригонометрической функции

  • Определение тригонометрических функций 2

  • График функции синуса

  • Графики тригонометрических функций

  • Построение графиков тригонометрических функций

  • Разновидности тригонометрических графиков

  • Определение формулы по графику функции

  • Тригонометрическая задача о колесе обозрения

  • Тригонометрическая задача о колесе обозрения. Часть 2

  • Тригонометрические тождества

  • Доказательство тождества sin(a+b)

  • Доказательство тождества cos(a+b)

  • Тригонометрические тождества. Часть 2

  • Тригонометрические тождества. Часть 3

  • Обзор тригонометрических тождеств

  • Тригонометрическая задача. Часть 1

  • Тригонометрическая задача. Часть 2

  • Теорема косинусов

  • Задача о мореплавании

  • Теорема синусов - доказательство

  • Полярные координаты. Часть 1

  • Полярные координаты. Часть 2

  • Полярные координаты. Часть 3

  • Обратные тригонометрические функции - арксинус

  • Обратные тригонометрические функции - арктангенс

  • Обратные тригонометрические функции - арккосинус

  • Задача по тригонометрии 1

  • Нахождение максимального значения выражения

  • Забавная тригонометрическая задача

  • Тригонометрическая задача с ограничениями

  • Пример решения системы тригонометрических уравнений

  • Экзаменационная задача за 2003 год

  • Задача № 14 из экзамена AIME II

Тригонометрия

Тригонометрия

Раздел математики, занимающийся изучением тригонометрических функций, а также их использования в геометрии, называется тригонометрией. В переводе с греческого языка данный термин переводится как «измерение треугольников» («trigonon» — треугольник и «metreo» — измерение). Еще в Древней Греции использовалась техника хорд для измерений и построений, связанных с измерением дуг окружности. Еще в трудах Евклида и Архимеда теоремы были представлены в геометрическом виде, аналогичном современным тригонометрическим формулам.

    Начало тригонометрии

    По мнению историков, самые первые тригонометрические таблицы составил Гиппарх Никейский, живший в 180-125 годах до н.э. Этот древнегреческий математик первым из коллег составил таблицы, соотносящие между собой величины дуг окружности и хорд, соответствующих серии углов. Используемое им деление окружности было уже не ново, так как ранее Гипсикл уже предложил разделить день на 360 частей, а также что-то подобное встречалось у вавилонских астрономов.

    В 100 году до н.э. Минелаем Александрийским был написан трактат «Сферика», состоящий из трех частей. Первая треть трактата была посвящена изучению основ сферических треугольников, аналогичных труду Евклида о плоских треугольниках. А спустя некоторое время Клавдием Птолемеем в его труде «Альмагест» были расширены «Хорды в окружности» Гиппарха. «Альмагеста», состоящая из 13 книг, может по праву считаться самым полным и известным трудом в области тригонометрии времен античности. И хотя таблицы Гиппарха и Птолемея, к сожалению, не сохранились до нашего времени, труды других античных авторов доказывают их существование.

    Немалый вклад в развитие тригонометрии внесли также индийские мыслители. Так в IV-V веках в трудах Арибхаты (известного индийского ученого-астронома того времени) встречается термин «ардхаджива» (в переводе с индийского «ардха» – половина и «джива» – тетива лука). Впоследствии он преобразовался в «джива», а у арабов стал называться «джайб» (выпуклость). При переводе научных трудов с арабского на общепринятый в Европе латинский данный термин был заменен на слово «синус» (изгиб, кривизна). Арибхатой также была составлена подробная таблица синусов, которая была размещена в его известном труде «Сурья-сиддханта».

    Когда в VIII-IX веках арабские ученые стали переводить исследования индийских математиков и астрономов на арабский язык. Ибрахим Аль-Фазари, считающийся первым арабским астрономом и математиком, совместно со своим сыном Мухаммадом и другим ученым Якубом ибн Тариком перевел «Брахма-спхута-сиддханту» (автор трактата индийский матаматик и астроном Брахмагупта). Переведенный трактат получил название «Большой Синдхинд» и стал основой многих научных трудов Средневековья.

    Арабские трактаты

    А самые первые собственные труды по тригонометрии принадлежат перу аль-Хорезми, который сочинил трактат «Книга о восполнении и противопоставлении» («Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала»), от которого и пошло название науки «алгебра». Также именно в это время появляются новые термины тригонометрии:  тангенс и котангенс, секанс и косеканс. Арабские математики развили идеи индийских ученых и дополнили их своими теоремами и новыми решениями различных тригонометрических задач.

    Европейские ученые, изучавшие начала тригонометрии по арабским трактатам, переведенным на латинский язык после крестовых походов в XII-XII веках, внесли значительный вклад в развитие тригонометрии как прикладной науки не только для астрономии, но и военного дела. Сам термин «тригонометрия» был введен в научный мир немцем Б.Питикусом, который опубликовал в 1595 году свой научный труд под названием «Тригонометрия, или краткий и ясный трактат о решении треугольников».