• Модуль и числовая прямая

  • Модуль (Пример 1)

  • Как найти модули целых чисел

  • Сравнение модулей чисел

  • Уравнения с модулем

  • Уравнения с модулем. Пример 1

  • Решение уравнений с модулем

  • Неравенства с модулем

  • Неравенства с модулем. Пример 1

  • Неравенства с модулем (часть 2)

  • Неравенства с модулем. Пример 3

Алгебра. Модуль

Алгебра. Модуль

Понятие модуля далеко неоднозначно и требует к себе особого подхода. Но для начала совершим краткий и емкий экскурс в историю, чтобы узнать о происхождении этого термина и понятия.

    История модуля

    Считается, что данный  термин  впервые ввел в пользование английский математик и философ  Роджер Котс, который в свою очередь  являлся учеником знаменитого ученого  Исаака Ньютона.  Великий немецкий физик, изобретатель, математик и философ Готфрид Лейбниц также в своих работах и трудах использовал функцию модуля, которую он обозначил mol x.  Однако, уже общепринятое и современно значение модуля как абсолютной величины было дано еще в 1841 году выдающимся немецким математиком Карлом Вейерштрассом. В начале девятнадцатого века ученые Арган и Коши ввели данное понятие и для комплексных чисел.  На сегодняшний день, так как функция модуля вычисляется очень просто, ее ввели и список стандартных функций фактически всех языков программирования.

    Геометрическое понятие модуля

    Любое действительное число вполне можно отождествить с соответствующей точкой на некой числовой прямой. Так как о каждой точке, которая отлична от нуля, можно сказать, лежит она правее или левее от нуля, и измерить расстояние от нуля до этой точки, то получается, что с каждым действительным числом можно связать две величины: его модуль и его знак. Если точка, которая отображает некое число, лежит  правее нуля, то знак этого числа принимают за положительный. Если же эта точка лежит левее, то знак, соответственно, отрицательный. Модуль числа, в таком случае, равен расстоянию от точки, которая изображает данное число, до нуля.

    Алгебраическое определение модуля

    Зная, что с геометрической точки зрения  функция модуля — это расстояние между

    Рассмотрим алгебраические свойства модуля как для вещественных чисел, так и для комплексных.

    Для вещественных чисел:

    • Область определения модуля от минус до плюс бесконечность;
    • Область значений от нуля до плюс бесконечности;
    • Функция модуля четная (график такой функции симметричен относительно знака аргумента);
    • Функция модуля может быть продифференцирована на всех промежутках, кроме нуля. В точке 0 находится излом функции ( в этой точке ветви кривой, на которые данная точка делит исходную функцию, имеют различные  касательные).

    Для комплексных чисел:

    • Областью определения модуля является комплексная плоскость;
    • Область значений модуля комплексного числа: от нуля до плюс бесконечности;
    • Модуль как функция комплексная не может быть дифференцирована ни в какой точке, так как не выполняется условие Коши-Римана.

    Прочие значения модуля

    Помимо алгебраического и геометрического обозначения, модулем называют и норму вектора в эвклидовых пространствах, которая также является мерой близости чисел. Также, норму элемента в многомерном векторном пространстве тоже можно считать модулем.