• Системы линейных уравнений

  • Задача ''Офицер верхом на коне''

  • Задачи на составление уравнений

  • Задача ''Велосипедисты''

  • Задача "Велосипед и поезд"

  • Задача ''Проходящие мимо поезда''

  • Задача ''Наперегонки''

  • Задачи на составление систем уравнений

  • Решение систем уравнений графическим способом

  • Решение систем уравнений графическим способом 2

  • Решение систем уравнений графическим способом 3

  • Решение систем уравнений графическим способом. Задача

  • Решение систем уравнений способом подстановки 1

  • Решение систем уравнений способом подстановки 2

  • Решение систем уравнений способом подстановки 3

  • Решение систем уравнений способом сложения

  • Решение систем уравнений способом сложения 2

  • Решение систем уравнений способом сложения 3

  • Решение систем уравнений. Способ сложения

  • Решение систем уравнений. Способ сложения 2

  • Задачи на решение систем уравнений

  • Задачи на решение систем уравнений 2

  • Задачи на решение систем уравнений 3

  • Задача про чай

  • Задача о солевом растворе

  • Задача на процент содержания сахара

  • Решение систем графическим способом

  • Системы уравнений. Проверка

  • Совместные и несовместные системы уравнений

  • Определенные и неопределенные системы уравнений

  • Решение задачи с помощью графика

  • Способ подстановки

  • Способ подстановки 2

  • Способ подстановки 3

  • Способ сложения 1

  • Способ сложения 2

  • Способ сложения 3

  • Способ сложения 4

  • Системы уравнений с тремя переменными

  • Системы уравнений с тремя переменными 2

  • Решение системы уравнений с тремя переменными

  • Система трёх уравнений. Задача

  • Решение линейных систем графическим способом

  • Решение линейных систем способом подстановки

  • Особые виды систем уравнений

  • Графики систем неравенств

  • Графики систем неравенств 2

  • Графики систем неравенств 3 (Первая версия)

  • Графики систем неравенств 3 (Вторая версия)

  • Системы неравенств. Графики

  • Проверка решения системы неравенств

  • Графики систем неравенств 3 (Третья версия)

Алгебра. Системы уравнений и неравенств

Алгебра. Системы уравнений и неравенств

Алгебра, а ранее арифметика, — это наука о числах, о величинах и их соотношениях.

Истории появления и развития

Истоки этой науки уходят в далекую древность. Развитие цивилизаций требовало освоения знаний о числах, решения уравнений для вычисления движений небесных объектов, определения и расчета физических явлений, измерений расстояния.

Древние математики не пользовались буквенным обозначением величин в уравнениях, все данные записывались словами. Первые обозначения вводит древнегреческий математик Диофант (2-3 в.н.э.). Неизвестную Диофант называет «аритмос» (число), вторую степень неизвестной «дюнамис» (сила, могущество, степень). Третью степень Диофант именует «кюбос» (куб), четвертую придумал назвать  «дюнамодюнамис», пятую степень — «дюнамокубос», а шестую — «кюбокюбос». Эти степени он обозначает начальными буквами названий (ар, дю, кю, ддю, дкю, ккю). Известные числа обозначаются с приставкой «мо» (монас — единица). Сложение не обозначается вовсе, для вычитания есть особое сокращенное обозначение, равенство нареклось «ис» (исос — равный). Так алгебра становится более унифицированной наукой, стало возможным ее международное распространение.

При решении уравнений раньше не использовали отрицательных чисел. Тот же Диофант называл это не нужным, так как избавление от отрицательного числа легко справляется переносом неизвестного из одной части выражения в другую.

К европейской цивилизации алгебра приходит от арабов, до сих пор мы используем арабские цифры для обозначения. Однако, в первом упоминании в эпоху средневековья эти цифры назывались индийскими. Итальянский купец Леонардо привез основы исчисления и решения системы уравнений и неравенств из Индии, написал первые научные трактаты, которые послужили началом к освоению и возрождению алгебры в Европе. Позже выяснилось, что индийские математики переняли общие обозначения от арабов.

Больших успехов добились китайские математики. Еще 4000 лет назад они уже умели решать простые уравнения с одной и двумя неизвестными, и даже квадратные уравнения. А известный образования биноминальных коэффициентов (треугольник Паскаля) в Европе был открыт на 250 лет позже, чем в Китае.

Возвращение к изучению алгебры связано с необходимостью, возникшей в Европе в эпоху Возрождения, когда стремительно развивались все науки, искусство художников и скульпторов. Начиная с конца 16-го века, были найдены способы решения уравнений 3-ей степени, через сто лет — 4-ой степени. После этого развитие математического исчисления происходит со стремительной скоростью. Всем становится очевидно, что во всех научных теоретических расчетах не обойтись без умения решать уравнения и пользоваться числами.

Особая суть алгебры

Средневековый математик, прежде всего, философ; структура уравнений, способы их решений классифицировались, делились на степени духовного развития и отождествлялись с уровнем совершенствования сознания. Великий Лейбниц считал, что мир знает шесть ступеней познания:

  1. Сложение и вычитание для малообразованных людей;
  2. Умножение и деление;
  3. Извлечение корня и возведение в степень, что достаточно для средневекового школьника;
  4. Интегральное и дифференциальное исчисление для университета;
  5. Художественное творчество, создание образов, проводилось доказательство неоспоримой связи между рациональными числами и эмоциональном восприятии;
  6. Высшая ступень познания. Нирвана, молитва, чудо, происходящее не из понятного вывода, а от веры.

Математиками считали себя художники и скульпторы, астрономы и духовники. Алгебра, как основа решения задач, являлась прерогативой великих мыслителей.